Die Schlussregel modus ponens

Logisch, oder?

Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich.

Diese drei Sätze beinhalten einen logischen Schluss. Aus zwei wahren Aussagen wird eine weitere wahre Aussage logisch hergeleitet. Im Folgenden soll - in einem kurzen Exkurs in die formale Logik - geklärt werden, welche logischen Schlussregeln hierbei zum Tragen kommen. Diese Schlussregeln werden in den weiteren Abschnitten benötigt, um die Auswertung von Anfragen transparent zu machen.

Ein Exkurs in die Fußballwelt

Zwei Spieltage vor dem Saisonende sieht die Tabelle so aus:

Platz Mannschaft Spiele Punkte
... ... ... ...
11 1.FC Kaiserslautern 32 33
... ... ... ...
16 FC St. Pauli 32 29
17 VfL Wolfsburg 32 28
18 1.FC Nürnberg 32 26

Clemens erklärt seiner Tochter Hanna die Situation vor dem vorletzten Spiel: "Wenn Kaiserslautern das Spiel gewinnt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen."

Kaiserslautern gewinnt (Gott sei Dank) das Spiel.

Welchen Schluss kann Hanna jetzt ziehen?

Fachkonzept modus ponens

Wie schließt man in der beschriebenen Fußballsituation?

Bei der Aussage "Wenn Kaiserslautern das Spiel gewinnt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen." handelt es sich um eine wahre Wenn-Dann-Aussage (bzw. Implikation) der Gestalt α → β mit der Bedingung α: "Kaiserslautern gewinnt das Spiel" und der Folgerung β: "Kaiserslautern kann nicht absteigen".

Die Aussage "Kaiserslautern gewinnt das Spiel" bedeutet, dass die Bedingung α wahr ist.

Aus der wahren Wenn-Dann-Aussage α → β und der wahren Aussage α wird jetzt geschlossen, dass die Aussage β ebenfalls wahr sein muss.

Man verwendet hier ein Schließmuster, das den Namen "modus ponens" trägt.

Die Schlussregel modus ponens erlaubt es, aus wahren Aussagen weitere wahre Aussagen herzuleiten. Man schließt dabei folgendermaßen:

Wenn die Aussage α → β wahr ist und wenn zusätzlich die Aussage α wahr ist, dann muss auch die Aussage β wahr sein.

Formal schreibt man das auch so:

modus ponens:

α → β
α
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