Station - Modulare Addition

Rechnen mit Uhrzeiten

Hier noch einmal der Fahrplan der Transsibirischen Eisenbahn:

Station Fahrzeit [h] Uhrzeit [MOZ] Rechnung
MOSKVA 17:00
KIROV 12 05:00 [17 + 12]%24 = 5
EKATERINBURG 26 19:00 [17 + 26]%24 = [43]%24 = 19
NOVOSIBIRSK 46
KRASNOYARSK 58
IRKUTSK 77
BIROBIDJAN 133
VLADIVOSTOK 149

Aufgabe 1

(a) Führe die Rechnung für weitere Städte durch.

(b) Darf man für EKATERINBURG auch so rechen:

[17 + 26]%24 = [17]%24 + [26]%24 = ...

(c) Geht das auch für NOVOSIBIRSK? Was müsste man hier noch tun?

[17 + 46]%24 = [17]%24 + [46]%24 = ...

Addition modulo einer vorgegebenen Zahl

Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b werden modulo n addiert, indem man sie addiert und anschließend von der Summe den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [a+b]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Addition modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist.

Die Addition modulo n lässt sich gut mit einer Verknüpfungstafel verdeutlichen. Im folgenden Beispiel ist n = 4 gewählt.

Verknüpfungstafel für die Addition modulo 4

Aufgabe 2

Erstelle selbst eine Verknüpfungstafel für die Addition modulo n = 5.

Aufgabe 3

(a) Wie kann man aus einer Verknüpfungstafel zur Addition modulo n die Gegenzahl modulo n zu einer Zahl bestimmen? Wie erhält man beispielsweise bei n = 4 die Gegenzahl modulo 4 zur Zahl a = 3, d.h. die Zahl x mit [3+x]%4 = 0?

(b) Warum gibt es bei gegebenem n zu jeder Zahl a eine solche additive Gegenzahl modulo n?

Rechengesetze für die Addition modulo n

Für die Addition modulo n gelten eine Reihe von Rechengesetze wie z.B. das Kommutativ- und das Assoziativgesetz. Wir benötigen zusätzlich die beiden folgenden Rechengesetze:

Modulare Gleichheit bei der Addition

Aus [a1]%n = [b1]%n und [a2]%n = [b2]%n folgt [a1+a2]%n = [b1+b2]%n.

Das erste Rechengesetz besagt, dass Zahlen, die modulo n gleich sind, auch zu gleichen Additionsergebnissen modulo n führen.

Addition und iterierte Modulberechnung

[a+b]%n = [[a]%n + [b]%n]%n 

Das zweite Rechengesetz erlaubt es, bei der Addition modulo n zuerst die Summanden zu verkleinern und dann erst die Addition durchzuführen.

Aufgabe 4

Bestätige die Rechengesetze anhand von Beispielen. Du kannst Python als Taschenrechner benutzen.

>>> n = 14
>>> a1 = 16
>>> b1 = 19
>>> a2 = 44
>>> b2 = 75
>>> a1%n
2
>>> a2%n
2
>>> b1%n
5
>>> b2%n
5
>>> (a1+b1)%n
...
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