Fachkonzept - Logische Verknüpfungen

Aussagen und ihre Verknüpfung

Eine Aussage ist ein Satz (sprachliches Gebilde), bei dem man eindeutig festlegen kann, ob er wahr oder falsch ist. Aussagen lassen sich also Wahrheitswerte zuordnen.

Beispiele:

"Das Jahr 2012 ist ein Schaltjahr." (wahr)
"Die Jahreszahl 2012 ist durch 4 teilbar." (wahr)
"Die Jahreszahl 2012 ist durch 100 teilbar." (falsch)

Ob ein Jahr ein Schaltjahr ist, lässt sich mit der folgenden Bedingung entscheiden:

Wenn die Jahreszahl durch 400 teilbar ist oder wenn sie durch 4 teilbar und nicht durch 100 teilbar ist, dann liegt ein Schaltjahr vor.

Zur Verdeutlichung der Struktur der hier benutzten Bedingung führen wir folgende Bezeichner ein:

A: "die Jahreszahl ist durch 4 teilbar"
B: "die Jahreszahl ist durch 100 teilbar"
C: "die Jahreszahl ist durch 400 teilbar"

A, B und C stehen hier für Aussagen (mit dem Platzhalter "Jahreszahl"), die - je nach Jahreszahl - wahr oder falsch sein können. Mit dieser Vereinbarung lässt sich die Bedingung für ein Schaltjahr wie folgt darstellen.

C oder (A und nicht B)

Im vorliegenden Beispiel kann die Bedingungen also als Aussage gedeutet werden, die aus mehreren Teilaussagen mit Hilfe logischer Verknüpfungen zusammengesetzt ist.

Im Folgenden betrachten wir diese logischen Verknüpfungen genauer.

Die nicht-Verknüpfung

Die logische nicht-Verknüpfung kehrt den Wahrheitswert einer Aussage um. Sie verneint also eine Aussage, man spricht daher auch von einer Negation.

A nicht A
falsch wahr
wahr falsch

Wenn beispielsweise die Aussage A:Die Augenzahl von Würfel 1 ist 2. (falsch) negiert wird, ergibt sich die Aussage (nicht A):Die Augenzahl von Würfel 1 ist nicht 2. (wahr).

Die und-Verknüpfung

Die logische und-Verknüpfung wird auch Konjunktion genannt. Sie ist folgendermaßen festgelegt:

A B A und B
falsch falsch falsch
falsch wahr falsch
wahr falsch falsch
wahr wahr wahr

Eine mit und zusammengesetzte Aussage ist also nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen - die erste und die zweite - wahr sind.

So ist beispielsweise die aus den Aussagen A:Die Augenzahl von Würfel 1 ist gleich der Augenzahl von Würfel 2. (wahr) und B:Die Augenzahl von Würfel 2 ist gleich der Augenzahl von Würfel 3. (wahr) zusammengesetzte Aussage (A und B):Die Augenzahl von Würfel 1 ist gleich der Augenzahl von Würfel 2 und die Augenzahl von Würfel 2 ist gleich der Augenzahl von Würfel 3. wahr, da beide Teilaussagen wahr sind.

Die oder-Verknüpfung

Die logische oder-Verknüpfung wird auch Disjunktion genannt. Sie ist folgendermaßen festgelegt:

A B A oder B
falsch falsch falsch
falsch wahr wahr
wahr falsch wahr
wahr wahr wahr

Eine mit oder zusammengesetzte Aussage ist also dann wahr, wenn minderstens eine Teilaussage - die erste oder die zweite oder auch beide - wahr ist.

So ist beispielsweise die aus den Aussagen A:Die Augenzahl von Würfel 1 ist 3. (falsch) und B:Die Augenzahl von Würfel 1 ist 4. (falsch) zusammengesetzte Aussage (A oder B):Die Augenzahl von Würfel 1 ist 3 oder die Augenzahl von Würfel 1 ist 4. falsch, da beide Teilaussagen falsch sind.

Beachte, dass die logische oder-Verknüpfung nicht dem Entweder-Oder aus dem Alltag entspricht.

Logische Terme

Logische Terme werden aus Variablen für Wahrheitswerte und logischen Verknüpfungen (und manchmal auch den logischen Werten wahr und falsch) aufgebaut.

So ist beispielsweise C oder (A und nicht B) ein logischer Term mit den Variablen A, B und C. Setzt man für die Variablen A, B und C Wahrheitswerte ein, so lässt sich der Wert des Terms mit Hilfe der Wahrheitstafeln für die logischen Verknüpfungen bestimmen. Die folgende Tabelle zeigt dies für alle Kombinationen möglicher Werte für A, B und C.

A B C nicht B A und nicht B C oder (A und nicht B)
falsch falsch falsch wahr falsch falsch
falsch falsch wahr wahr falsch wahr
falsch wahr falsch falsch falsch falsch
falsch wahr wahr falsch falsch wahr
wahr falsch falsch wahr wahr wahr
wahr falsch wahr wahr wahr wahr
wahr wahr falsch falsch falsch falsch
wahr wahr wahr falsch falsch wahr

Die Wahrheitstafeln für die logischen Verknüpfungen ermöglichen es also, mit Wahrheitswerten zu rechnen. Man muss sich nur an die Vereinbarungen in den Wahrheitstafeln halten.

Als Anwendung betrachten wir noch einmal die folgenden Aussagen.

A: "die Jahreszahl ist durch 4 teilbar"
B: "die Jahreszahl ist durch 100 teilbar"
C: "die Jahreszahl ist durch 400 teilbar"

Beachte, dass A, B und C eigentlich erst dann zu Aussagen werden, wenn eine konkrete Jahreszahl festgelegt wird. Erst dann lässt sich entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

Geprüft werden soll, ob der logische Term C oder(A und nicht B) für alle konkreten Jahreszahlen richtig erfasst, ob es sich um ein Schaltjahr handelt. Wir werten den Term für die denkbaren Fälle aus und benutzen hierbei die bereits oben erzielten Ergebnisse.

Jahreszahl A B C C oder (A und nicht B)
2009 falsch falsch falsch falsch
2012 wahr falsch falsch wahr
2100 wahr wahr falsch falsch
2400 wahr wahr wahr wahr

Die Ergebnisse belegen, dass sich der logische Term als Bedingung zur Beschreibung von Schaltjahren eignet.

Äquivalenz logischer Terme

Logische Terme sind äquivalent, wenn sie für alle möglichen Belegungen der hierin vorkommenden Variablen jeweils denselben Wahrheitswert haben.

So sind beispielsweise die logischen Terme nicht(A und B) und (nicht A) oder (nicht B) äquivalent. Man zeigt dies, indem man Wahrheitstafeln für die Terme anlegt, die sämtliche Belegungen der Variablen A und B enthalten und die entsprechenden Werte der logischen Terme aufzeigen.

Wahrheitstafel für nicht(A und B):

A B A und B nicht(A und B)
falsch falsch falsch wahr
falsch wahr falsch wahr
wahr falsch falsch wahr
wahr wahr wahr falsch

Wahrheitstafel für (nicht A) oder (nicht B):

A B nicht A nicht B (nicht A) oder (nicht B)
falsch falsch wahr wahr wahr
falsch wahr wahr falsch wahr
wahr falsch falsch wahr wahr
wahr wahr falsch falsch falsch

Beachte, dass beide logischen Terme jeweils gleiche Ergebnisse bei einer vorgebenen Belegung der Variablen liefern.

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