Fachkonzept - Logische Verknüpfungen

Aussage

Unter einer Aussage versteht man einen Satz, der so formuliert ist, dass man eindeutig sagen kann, ob er wahr oder falsch ist.

Beispiele für solche Sätze sind:

In jedem dieser Fälle kann zu einem beliebigen Zeitpunkt eindeutig entschieden werden, ob der Satz wahr oder falsch ist.

Keine Aussagen sind dementsprechend Sätze, die zwar verständlich sind, denen aber nicht eindeutig ein Wahrheitswert wahr oder falsch zugeordnet werden kann. Es hängt hier vom Betrachter ab, wie Sätze interpretiert werden:

Du kennst bereits aus der Mathematik Verknüpfungen, mit deren Hilfe du Zahlen verbinden und damit zu neuen Zahlen gelangen kannst. Hierzu zählen plus, minus, mal und geteilt. Auch Aussagen kannst du verknüpfen!

UND-Verknüpfung

Marvin ist 14 Jahre alt und hat Informatik als Schulfach.

Aus den beiden Aussagen Marvin ist 14 Jahre alt und Marvin hat Informatik als Schulfach ist durch die Verknüpfung mit dem Operator und eine neue Aussage entstanden. Da beide Teilaussagen wahr sind, ist auch die durch die Verknüpfung enstehende neue Aussage wahr. Bezogen auf unser Einstiegsbeispiel bedeutet das, dass Marvin an der Robotik-AG von Herrn Schneider teilnehmen darf.

Die Aussage Kaiserslautern ist die Hauptstadt von Rheinland-Pfalz und das Fritz-Walter-Stadion steht in Kaiserslautern ist dagegen insgesamt falsch, da bereits die Aussage über die Hauptstadt falsch ist.

Du weißt bereits, dass ein Bit eine Einheit zur Informationsdarstellung ist, welche genau zwei Werte annehmen kann, 0 und 1. In der digitalen Logik erfolgt nun folgende Zuordnung:

wahr 1
falsch 0

Für zwei Aussagen a und b, die mit und verknüpft werden, schreiben wir in der digitalen Logik

a ∧ b.

Für die UND-Verknüpfung, die man auch Konjunktion nennt, ergibt sich nun folgende Wahrheitstabelle:

a b a ∧ b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

NICHT-Verknüpfung

Du hast sicherlich bemerkt, dass die NICHT-Verknüpfung eine Aussage umkehrt. Diesen Vorgang nennt man auch negieren. Die so entstehende Aussage besitzt nun den entgegengesetzten Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage.

Ist a die ursprüngliche Aussage, so schreiben wir für die Negation von a a und wir erhalten folgende Wahrheitstabelle:

a a
0 1
1 0

ODER-Verknüpfung

Bei der ODER-Verknüpfung, auch Disjunktion genannt, handelt es sich um ein einschließendes oder. Ist eine Teilaussage wahr, so ist auch die durch die Disjunktion entstandene Aussage wahr.

Bei der ersten Aussage ist nur die zweite Teilaussage wahr, bei der zweiten beide Teilaussagen. In beiden Fällen ist die neu entstandene Aussage wahr, da es sich um ein einschließendes oder handelt. Für zwei Aussagen a und b, die mit oder verknüpft werden, schreiben wir kurz a ∨ b. Für die Disjunktion ergibt sich folgende Wahrheitstabelle:

a b. a ∨ b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Boolesche Algebra

Die Zeichen ∧, ∨ und   nennen wir Operatoren. Einen Ausdruck, der aus Variablen und Operatoren besteht, nennen wir booleschen Term.
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