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Separationsgerade

Wir bleiben bei dem oben gewählten Perzeptron mit zwei Eingängen zur Klassifikation von Tieren nach ihrer Gefährlichkeit: Perzeptron für die Klassifikation von Tieren nach ihrer Gefährlichkeit

Punkte in der 2-dimensionalen Zahlenebene können als Tiere aufgefasst werden. Die Punktmenge $(x_1,x_2)$, für die $u(x_1,x_2)=\Theta$ gilt, separiert gefährliche von ungefährlichen Tieren:
\begin{eqnarray}
u(x_1,x_2) &\stackrel{!}{=}& \Theta \nonumber \
\Leftrightarrow w_1 x_1 + w_2 x_2 &=& \Theta \nonumber \
\Leftrightarrow \vec{w} \cdot \vec{x} - \Theta &=& 0 \label{eq:gerade}
\end{eqnarray}

Dies ist eine Geradengleichung, die nach Division durch $|\vec{w}|$ mit dem Einheitsvektor $\vec{\hat{w}} := \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} $ in der Hesseschen Normalenform geschrieben werden kann als:
\begin{eqnarray}
\Leftrightarrow \hat{\vec{w}} \cdot \vec{x} - \frac{\Theta}{|\vec{w}|} &=& 0 \nonumber \nonumber
\end{eqnarray}
Aus der Hesseschen Normalenform wiederum erhält man den vorzeichenbehafteten Abstand eines Punktes $P$ mit Ortsvektor $\vec{p}$ von der Separationsgerade $g$
als
\begin{eqnarray}
d(\vec{p},g) = \vec{w} \cdot \vec{p} - \Theta \nonumber
\end{eqnarray}
Dabei ist $d(\vec{p},g)$ positiv, wenn P in dem durch die Gerade getrennten Halbraum liegt, in den der Gewichtsvektor $\vec{w}$ hineinzeigt und negativ, wenn $P$ in dem anderen Halbraum liegt.

Weiterhin benötigen wir im Folgenden die Geradengleichung von $g$ auch noch in der Koordinatenform, die wir durch Ausmultiplizieren des Skalarproduktes erhalten als:
\begin{eqnarray}
\Leftrightarrow \frac{w_1}{\Theta} x_1 + \frac{w_2}{\Theta} x_2 &=& 1 \nonumber
\end{eqnarray}

Aus der Koordinatengleichung erhält man für die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen also $(\frac{\Theta}{w_1},0)$ und $(0,\frac{\Theta}{w_2})$.

Der Abstand der Separationsgeraden von Koordinatenursprung beträgt $d=\frac{\Theta}{\|\vec{w}\|}$, wie man aus der HNF abliest. Damit läßt sich die allgemeine Separationsgerade wie folgt graphisch darstellen:

Separationsgerade eines Perzeptrons mit 2 Eingängen.

Die Gerade trennt den Bereich der ungefährlichen Tieren von dem Bereich der gefährlichen Tiere. Der Verktor $\vec{w}$ zeigt in den Halbraum, für den das Perzeptron aktiviert ($y=1$) ist, also hier in den Bereich der gefährlichen Tiere.

Aufgabe 1:

Stelle für das obige Perzeptron zur Klassifikation von Tieren ($w_1=1, w_2=0,5,\Theta=2$) die Separationsgerade graphisch in der Zahlenebene dar.

Aufgabe 2:

Finde Gewichte $w_1,w_2 \in \mathbb{R}$ und Schwellenwert $\Theta \in \mathbb{R}$ eines Perzeptrons, das die folgende Punktwolke separiert. Für die rot eingezeichneten Punkte soll der Ausgang des Perzeptrons den Wert $y=1$, für die grün eingezeichneten Punkte den Wert $y=0$ annehmen.

Aufgabe 3:

Finde Gewichte $w_1,w_2 \in \mathbb{R}$ und Schwellenwert $\Theta \in \mathbb{R}$ eines Perzeptrons, das die folgende Punktwolke separiert. Für die rot eingezeichneten Punkte soll der Ausgang des Perzeptrons den Wert $y=1$, für die grün eingezeichneten Punkte den Wert $y=0$ annehmen.

Aufgabe 4:

Finde Gewichte $w_1,w_2 \in \mathbb{R}$ und Schwellenwert $\Theta \in \mathbb{R}$ eines Perzeptrons, das eine AND-Verknüpfung modelliert, indem es die folgende Punktwolke separiert. Für die rot eingezeichneten Punkte soll der Ausgang des Perzeptrons den Wert TRUE ($y=1$), für die grün eingezeichneten Punkte den Wert FALSE ($y=0$) annehmen.

Aufgabe 5:

Finde Gewichte $w_1,w_2 \in \mathbb{R}$ und Schwellenwert $\Theta \in \mathbb{R}$ eines Perzeptrons, das eine NAND-Verknüpfung modelliert, indem es die folgende Punktwolke separiert. Für die rot eingezeichneten Punkte soll der Ausgang des Perzeptrons den Wert TRUE ($y=1$), für die grün eingezeichneten Punkte den Wert FALSE ($y=0$) annehmen.

Aufgabe 6:

Finde Gewichte $w_1,w_2 \in \mathbb{R}$ und Schwellenwert $\Theta \in \mathbb{R}$ eines Perzeptrons, das eine OR-Verknüpfung modelliert, indem es die folgende Punktwolke separiert. Für die rot eingezeichneten Punkte soll der Ausgang des Perzeptrons den Wert TRUE ($y=1$), für die grün eingezeichneten Punkte den Wert FALSE ($y=0$) annehmen.

Aufgabe 7:

Finde Gewichte $w_1,w_2 \in \mathbb{R}$ und Schwellenwert $\Theta \in \mathbb{R}$ eines Perzeptrons, das eine NOR-Verknüpfung modelliert, indem es die folgende Punktwolke separiert. Für die rot eingezeichneten Punkte soll der Ausgang des Perzeptrons den Wert TRUE ($y=1$), für die grün eingezeichneten Punkte den Wert FALSE ($y=0$) annehmen.

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