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Exkurs - Stellenwertsysteme

Erkenntnisse aus dem Gefängnis

Im Einstieg hast du sicher festgestellt, dass jede Lampe für eine bestimmte Zahl (man nennt das ihren Wert) steht. Es werden die Werte von allen Lampen, die eingeschaltet sind, addiert. Je nach Position (man sagt Stelle) haben die Lampen unterschiedliche Werte: 1, 2, 4, 8, 16, ... Da hier die Werte an bestimmten Stellen so wichtig sind, spricht man von einem Stellenwertsystem.

Hinweis zu den Aufgaben

Die nachfolgenden Aufgaben bauen stark aufeinander auf. Du solltest also z.B. mit Aufgabe 2 erst beginnen, wenn du Aufgabe 1 bearbeitet hast.

Ein Gegenbeispiel

Bevor wir weitere Stellenwertsysteme betrachten, schauen wir uns ein System an, das kein Stellenwertsystem ist.

Aufgabe 1

Sieh dir das nachfolgende Bild an. Die Ziffern sind hierbei merkwürdig dargestellt. Welche Bedeutung haben die Zeichen?

Komische Uhrzeiten[1]

Aufgabe 2

Bei dem Bild oben handelt es sich um römische Zahlen. Dort gibt es Buchstaben als Ziffern: I, V, X, L, C, D und M.

(a) Stelle anhand des Bilds oben eine Vermutung auf: Welche Bedeutung haben die Zeichen I, V und X?

(b) Recherchiere im Internet: Welche Bedeutung haben die Zeichen L, C, D und M?

I steht für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100, D für 500 und M für 1000.

(c) Beschreibe: Was bedeutet es hier, wenn mehrere Zeichen hintereinander stehen? Wie kommt man z.B. auf den Wert der Zahl VII und der Zahl LXV?

Die Werte der einzelnen Zeichen werden addiert: VII entspricht $5+1+1=7$; LXV entspricht $50+10+5=65$.

(d) Es tauchen sowohl „IV“ und „IX“ als auch „VI“ und „XI“ im Bild oben auf. Was ist der Unterschied?

In der Regel sind die Zeichen von groß nach klein geordnet und ihre Werte werden addiert. Steht aber ein „kleineres Zeichen“ vor einem größeren – z.B. bei IV –, dann wird subtrahiert: IV entspricht also $5-1=4$. Das ist eine Kurzschreibweise, um nicht IIII schreiben zu müssen.

Aufgabe 3

Wir betrachten weiter römische Zahlen. Die Besonderheit der Subtraktion ist dabei für uns nicht weiter wichtig.

(a) Wandle die römische Zahl MMCCXXII in eine „normale Zahl“ um.

(b) Wandle die aktuelle Jahreszahl in eine römische Zahl um.

(c) Finde heraus, wann die „erste Programmiererin der Welt“ – Ada Lovelace – geboren ist, und wandle ihr Geburtsjahr in eine römische Zahl um.

Ada Lovelace ist am 10. Dezember 1815 in London geboren. 1815 entspricht MDCCCXV.

(d) Finde heraus, wann der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß geboren ist, und wandle sein Geburtsjahr in eine römische Zahl um.

Er ist im Jahr 1777 geboren und das entspricht MDCCLXXVII.

Aufgabe 4

Du hast nun einige Zeit mit einem „Nicht-Stellenwertsystem“ gearbeitet. Sammle Unterschiede. Welche Vorteile hat das römische System, welche Nachteile hat es?

Betrachte insbesondere die Länge der Zahlen, gerade in Aufgaben 3c und 3d.

Stellenwertsysteme

Wir nutzen nun unsere Erkenntnisse, um genauer zu beschreiben, was ein Stellenwertsystem ausmacht und welche Vorteile es mit sich bringt.

Aufgabe 5

(a) Eine Besonderheit des römischen Systems besteht darin, dass gleiche Zeichen an jeder Stelle der Zahl die gleiche Bedeutung haben. Das ist bei unseren System nicht der Fall. Erkläre das am Beispiel der beiden Geburtstage aus Aufgabe 3. Wie ändert sich die Bedeutung einer Ziffer in unserem Zahlsystem je nach Position, an der sie steht?

Betrachte z.B. die Bedeutung der mehreren 1en im Geburtstag von Ada Lovelace und im Vergleich dazu die Bedeutung der mehreren Cs in ihrem Geburtsdatum.

(b) Wir betrachten die Zahlen $1☐00$, $10☐0$ und $100☐$. Das Kästchen steht jeweils für eine Ziffer, die wir nicht kennen. Setze nun verschiedene Ziffern ein. Wie verändert sich der Wert der Zahl?

(c) Wir wollen die Zahl 1815 als eine Rechnung aufschreiben und dabei die Ziffern der Zahl verwenden. Vervollständige: $1815=1\cdot ☐ + 8 \cdot ☐ + 1 \cdot ☐ + 5 \cdot ☐$.

(d) Man nennt unser Zahlensystem auch „Zehnersystem“. Erkläre anhand der (c), warum dies so ist.

Fazit

In den Aufgaben konntest du den Unterschied zwischen einem Stellenwertsystem und einem anderen System – den römischen Zahlen – untersuchen.

Bei den römischen Zahlen hat jedes verwendete Symbol immer die gleiche Bedeutung. Das Symbol C steht in jedem Fall für $100$. Bei unserem Zahlensystem ist das anders: Die Ziffer 1 in der Zahl 1815 steht einmal für eintausend und einmal für zehn. Das liegt daran, dass jeder Stelle der Zahl ein anderer Wert zugewiesen wird – genau wie jede Lampe beim Gefängnis auch einen anderen Wert dargestellt hat.

Unser Zahlensystem funktioniert so: $1815=1\cdot 1000 + 8 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 1$. Jede Ziffer wird also mit dem Wert der jeweiligen Stelle multipliziert. Diese Werte sind $1$, $10$, $100$, $1000$, ... Das alles sind Zehnerpotenzen. Wir können also auch schreiben: $1815 = 1 \cdot 10^3 + 8\cdot 10^2 + 1\cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$. Die Zahl 10 nennt man dabei Basiszahl.

Ein großer Vorteil des Stellenwertsystems liegt daran, dass die Zahlen tendentiell kürzer sind. Vergleiche dazu einfach mal die Länge der Geburtsdaten. Außerdem können wir auch sehr große Zahlen darstellen. Bei den römischen Zahlen müssten wir für die Zahl $1000000$ entweder sehr viele Ms aneinanderreihen oder viele weitere Symbole erfinden, die man dann alle auswendig lernen muss. Im Zehnersystem kommen wir dahingegen mit zehn verschiedenen Symbolen – den Ziffern $0$ bis $9$ – aus.

Es wirkt mathematisch sehr sinnvoll, ausgerechnet die Zahl 10 als Basiszahl auszuwählen; das liegt aber nur daran, dass wir die Arbeit mit dem Zehnersystem gewohnt sind. Der Grund für die Basiszahl 10 ist nur die Anzahl unserer Finger. Aliens mit zwölf Fingern nutzen vermutlich ein Zwölfersystem. Aliens mit nur zwei Fingern nutzen vielleicht das System, das du bei der Erkundung mit den Laternen gesehen hast.

Quellen

Suche

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1.2.2.2
www.inf-schule.de/information/darstellunginformation/binaerdarstellungzahlen/exkurs_stellenwertsysteme
www.inf-schule.de/1.2.2.2

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