inf-schule | Schaltnetze vereinfachen » Erkundung: Rechengesetze für Schaltterme

Erkundung: Rechengesetze für Schaltterme

Termumformungen in der Mathematik

Aus der Mathematik kennst du Rechengesetze, mit denen mathematische Terme vereinfacht werden können.
Bsp.:
Beispiel für Termumformungen im Mathematik

Schaltterme können ebenfalls mit Hilfe von Rechengesetzen vereinfacht werden. Es gelten jedoch andere Rechengesetze als für mathematische Terme.

Rangfolge der Operatoren

In der Mathematik gilt: Klammern vor Punkt vor Strich. Eine ähnliche Rangfolge der Operatoren gibt es auch für Schaltterme:

Rangfolge der Operatoren für Schaltterme: Klammern vor not ($\bar{\phantom{a}}$) vor and ($\wedge$) vor or ($\vee$)

Aufgabe 1

Schreibe folgende Schaltterme mit möglichst wenig Klammern.
Achtung: Nicht in jedem Schaltterm können Klammern weggelassen werden.

$ (g \wedge i) \vee h $
$ (g \vee i) \wedge h $
$ g \vee (i \wedge h) $
$ ((\overline{g \vee i}) \wedge h)$

Rechengesetze für Schaltterme

Assoziativgesetze

$a \wedge b \wedge c = (a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$

$a \vee b \vee c = (a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$

Im folgenden Beispiel stehen $a$, $b$ und $c$ für Schaltterme:
$$ \left( \underbrace{\textcolor{blue}{(\bar f \wedge \bar k)}}_{\textcolor{blue}{a}} \vee \underbrace{\textcolor{green}{(\bar f \wedge k)} }_{\textcolor{green}{b}} \right) \vee \underbrace{\textcolor{red}{(f \wedge \bar k)} }_{\textcolor{red}{c}} = \underbrace{\textcolor{blue}{(\bar f \wedge \bar k)}}_{\textcolor{blue}{a}} \vee \left( \underbrace{\textcolor{green}{(\bar f \wedge k)} }_{\textcolor{green}{b}} \vee \underbrace{\textcolor{red}{(f \wedge \bar k)} }_{\textcolor{red}{c}} \right) $$
Aufgrund der Rangfolge der Operatoren kann man alle Klammern auch weglassen:
$$ \left( \underbrace{\textcolor{blue}{(\bar f \wedge \bar k)}}_{\textcolor{blue}{a}} \vee \underbrace{\textcolor{green}{(\bar f \wedge k)} }_{\textcolor{green}{b}} \right) \vee \underbrace{\textcolor{red}{(f \wedge \bar k)} }_{\textcolor{red}{c}} = \underbrace{\textcolor{blue}{\bar f \wedge \bar k}}_{\textcolor{blue}{a}} \vee \underbrace{\textcolor{green}{\bar f \wedge k} }_{\textcolor{green}{b}} \vee \underbrace{\textcolor{red}{f \wedge \bar k} }_{\textcolor{red}{c}} $$

Kommutativgesetze

$a \wedge b = b \wedge a$

$a \vee b = b \vee a$

1. Bsp.: $$ \underbrace{\textcolor{blue}{f}}_{\textcolor{blue}{a}} \wedge \underbrace{\textcolor{green}{\bar k}}_{\textcolor{green}{b}} = \underbrace{\textcolor{green}{\bar k}}_{\textcolor{green}{b}} \wedge \underbrace{\textcolor{blue}{f}}_{\textcolor{blue}{a}} $$ 2. Bsp.: $$ (\bar f \wedge \bar k) \vee \underbrace{\textcolor{blue}{(\bar f \wedge k)}}_{\textcolor{blue}{a}} \vee \underbrace{\textcolor{green}{(f \wedge \bar k)}}_{\textcolor{green}{b}} = (\bar f \wedge \bar k) \vee \underbrace{\textcolor{green}{(f \wedge \bar k)}}_{\textcolor{green}{b}} \vee \underbrace{\textcolor{blue}{(\bar f \wedge k)}}_{\textcolor{blue}{a}} $$

Aufgabe 2

In den folgenden Umformungen wurde jeweils nur ein Gesetz verwendet. Gib für jede Umformung das Gesetz sowie $a$, $b$ und (falls nötig) $c$ an.

$ (\bar f \wedge \bar k) \vee (\bar f \wedge k) \vee (f \wedge \bar k) = (\bar f \wedge k) \vee (\bar f \wedge \bar k) \vee (f \wedge \bar k) $
$ (\bar s \wedge \bar n) \wedge \bar g = \bar s \wedge (\bar n \wedge \bar g) $
$ s \wedge \bar n \wedge \bar g = \bar n \wedge \bar g \wedge s$

Distributivgesetze

1.$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$

2.$a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$

1. Bsp.: (1. Distributivgesetz, von links nach rechts)
$$ \textcolor{blue}{\underbrace{\bar f}_{a}} \wedge (\textcolor{green}{\underbrace{\bar k}_{b}} \vee \textcolor{red}{\underbrace{k}_{c}}) = (\textcolor{blue}{\underbrace{\bar f}_{a}} \wedge \textcolor{green}{\underbrace{\bar k}_{b}}) \vee (\textcolor{blue}{\underbrace{\bar f}_{a}} \wedge \textcolor{red}{\underbrace{k}_{c}}) $$
gleiches Beispiel, verdeutlicht mit Pfeilen:
Beispiel für das Distributivgesetz 2. Bsp.: (1. Distributivgesetz, von rechts nach links)
$$ (\textcolor{blue}{\underbrace{\bar n \wedge \bar g}_{a}} \wedge \textcolor{green}{\underbrace{\bar s}_{b}}) \vee (\textcolor{blue}{\underbrace{\bar n \wedge \bar g}_{a}} \wedge \textcolor{red}{\underbrace{s}_{c}}) = \textcolor{blue}{\underbrace{\bar n \wedge \bar g}_{a}} \wedge (\textcolor{green}{\underbrace{\bar s}_{b}} \vee \textcolor{red}{\underbrace{s}_{c}}) $$
gleiches Beispiel, verdeutlicht mit Pfeilen:
Beispiel für das Distributivgesetz

Aufgabe 3

Klammere mit dem 1. Distributivgesetz einen möglichst großen Term aus:

$ (\bar k \wedge \bar f) \vee (\bar k \wedge f) $
$ (s \wedge \bar g \wedge \bar n) \vee (s \wedge \bar g \wedge n)$

Komplementgesetze

$a \wedge \bar a = 0$

$a \vee \bar a = 1$

$\overline{\bar a} = a$

Aufgabe 4

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die Komplementgesetze:

$a$	$\bar a$	$a \wedge \bar a$	$a \vee \bar a$	$\overline{\bar a}$
0
1

Idempotenzgesetze

$a \wedge a = a$

$a \vee a = a$

Aufgabe 5

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die Idempotenzgesetze:

$a$	$a \wedge a$	$a \vee a$
0
1

Gesetze der neutralen Elemente

$a \wedge 1 = a$

$a \vee 0 = a$

Aufgabe 6

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die Gesetze der neutralen Elemente:

$a$	$a \wedge 1$	$a \vee 0$
0
1

0-1-Gesetze

$a \wedge 0 = 0$

$a \vee 1 = 1$

Aufgabe 7

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die 0-1-Gesetze:

$a$	$a \wedge 0$	$a \vee 1$
0
1