Künstliche Neuronale Netze

Weiter oben wurde ein einzelnes künstliches Neuron verwendet, um die Gefährlichkeit von Tieren anhand der beiden Eingangsgrößen Augen- und Zahngröße zu klassifizieren.

Dieses erste Modell soll nun auf vier Eingangsgrößen und zwei Ausgangsgrößen erweitert werden. Dazu wird folgendes künstliches neuronales Netzwerk (KNN) betrachtet:

Die Zahlen an den Kanten des Graphen sind die Gewichte, die Zahlen in den Kreisen sind die Biases der jeweiligen künstlichen Neuronen. Als Aktivierungsfunktion wird die sogenannte Sigmoid-Funktion $\sigma$ mit Werebereich $(0,1)$ verwendet: $$ \sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} $$

Layer 0 nimmt die Eingabegrößen auf und wird daher auch als Eingabelayer bezeichnet. Entsprechend wird das letzte Layer (hier Layer 2) auch Ausgabelayer genannt. Die dazwischen liegenden Layer (hier also lediglich Layer 1) sind die so genannten Hidden Layer. Das Eingabelayer leitet die Eingabewerte einfach nur unverändert an das nachfolgende Layer weiter und besitzt deshalb als einziges Layer keine Gewichte und Biases.

Soll nun ermittelt werden, ob ein bestimmtes Lebewesen, repräsentiert durch den Eingabevektor $\vec{a}^0$, gefüttert werden soll oder ob der Jäger zu Hilfe gerufen werden soll, so werden sukzessive die Aktivierungen ${\vec{a}}^l$ der nächstfolgenden Layer berechnet, bis das Ausgabelayer (hier also $\vec{a}^2$) erreicht ist. Man nennt dieses Vorgehen Forward-Propagation.

Die Aktivierungen am Ausgang des KNN liefern nun Werte zwischen $0$ und $1$ (Wertebereich der Sigmoid-Funktion), die sich als Wahrscheinlichkeiten deuten lassen. Eine Aktivierung von $0.9$ am zweiten Ausgabeneuron bedeutet also nun, dass das KNN der "Meinung" ist, dass mit 90% Wahrscheinlichkeit der Jäger gerufen werden muss, da es sich um eine gefährliches Tier handelt.

Beachte, dass es sich bei den natürlichen Zahlen rechts oben an den Aktivierungsvektoren $\vec{a}$ nicht um einen Exponenten, sondern um einen Index handelt, der die Nummer des Layers angibt.

Aufgabe 1

Berechne die Aktivierung $\vec{a}^2$ am Ausgang des obigen künstlichen neuronalen Netzwerks für die folgenden Lebewesen $\vec{a}^0$ als Eingabegrößen. Die Komponenten der Vektoren sollen dabei jeweils als Werte in $cm$ interpretiert werden. 1.) $\vec{a}^0 = \left(\begin{array}{c} 8\\2\\3\\10 \end{array}\right)$     2.) $\vec{a}^0 = \left(\begin{array}{c} 150\\1\\40\\120 \end{array}\right)$     3.) $\vec{a}^0 = \left(\begin{array}{c} 4\\3\\25\\7 \end{array}\right)$

Bei welchem der drei Lebewesen könnte es sich um einen Elefanten, einen Wolf, eine Großmutter handeln?