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Exkurs: Das NAND-Gatter

Das NAND-Gatter

Das NAND-Gatter hat in der Digitaltechnik aufgrund seiner kostengünstigen Produktionsmöglichkeit als auch wegen seiner universellen Verwendungsmöglichkeiten einen besonderen Stellenwert. Mit diesem wollen wir uns im Folgenden näher beschäftigen.
Ziel soll es sein, das RS-FF mit nur NAND-Gattern zu konstruieren. Wir werden dazu schrittweise die benötigten UND-, ODER-, NICHT-Gatter mit NAND-Gatter realisieren.

Das NICHT-Gatter

Das NICHT-Gatter negiert (invertiert) seinen Eingang, aus einer 0 wird eine 1 und umgekehrt.

Aufgabe 1

Nutze ein NAND-Gatter, um damit ein NICHT-Gatter zu konstruieren. Baue deine Schaltung mit Hilfe eines Simulationsprogramms, z.B. LogicSim, nach und teste sie. Erhältst du das passende Ergebnis?

Beide Eingänge des NAND-Gatters müssen mit dem gleichen Eingang a verbunden werden.

Das UND-Gatter

Für ein UND-Gatter mit zwei Eingängen gilt folgende Wahrheitstabelle:

a b a ∧ b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Das UND-Gatter aus NAND-Gattern wird nun dadurch realisiert, dass man ein NAND-Gatter 1 als ersten Baustein nimmt und an dessen Ausgang, nennen wir ihn x, ein weiteres NAND-Gatter 2 anschließt, dessen beide Eingänge an x, dem Ausgang des ersten NAND-Gatters, angeschlossen werden.

Aufgabe 2

Ist der Schaltterm komplexer oder besteht die Schaltung aus mehreren Gattern, ist es sinnvoll, sich die Schaltung aufzuteilen, die Wahrheitswerte nach und nach zu erarbeiten und dafür Hilfsvariablen einzuführen.

(a) Ergänze die nachfolgende Wahrheitstabelle:

a
 
b
 
a ∧ b
= x
(a ∧ b) & (a ∧ b)
= x & x
(a ∧ b) & (a ∧ b)
= x ∧ x
0 0 1 1 0
0 1 1 ...
1 0 ...
1 1

(b) Baue diese Schaltung mit Hilfe eines Simulationsprogramm, z.B. LogicSim, nach und teste sie. Erhältst du das passende Ergebnis?

Das ODER-Gatter

Das ODER-Gatter wird logisch eins, wenn mindestens ein Eingang wahr (1) ist.

Aufgabe 3

Nutze wieder die NAND-Gatter, um damit ein ODER-Gatter mit zwei Eingängen zu konstruieren. Erstelle zunächst eine Wahrheitstabelle wie in Aufgabe 2.
Hinweis: Du benötigst mehrere NAND-Gatter.

Du benötigst 3 NAND-Gatter. Negiere zunächst beide Eingangsvariablen a und b mit Hilfe von je einem NAND-Gatter. Nutze anschließend die negierten Ausgänge für das dritte NAND-Gatter...

Die Wahrheitstabelle kann wie folgt aufgeteilt werden:

a b a ∧ a
= x
b ∧ b
= y
(a ∧ a) & (b ∧ b)
= x & y
(a ∧ a) & (b ∧ b)
= x ∧ y
0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 ...
1 0 ...
1 1

Unser Ziel: Das RS-FF

Da wir nun alle drei Grundgatter mit nur NAND-Gatter realisieren können, können wir mit unserem Ziel beginnen, das RS-FF aus nur NAND-Gattern zu bauen.

Aufgabe 4

(a) Ersetze zunächst in dem klassischen RS-FF das ODER-, UND- und NICHT-Gatter mit den jeweiligen NAND-Gatter-Schaltungen. Baue die Schaltung auch in LogicSim nach und teste das Ergebnis.

(b) Die neue Schaltung hat durch die NAND-Gatter einen neuen noch nicht betrachteten Ausgang erhalten. Schließe eine Lampe an die Schaltung und analysiere das Verhalten.

(c) Die neu entstandene Schaltung ist recht unübersichtlich und groß geworden. Zwei NAND-Gatter können noch gestrichen werden, da sie sich logisch aufheben. Finde diese und vereinfache die Schaltung.

 

Obwohl man zunächst vier Gatter benötigt, ist diese Konstruktion wirtschaftlich gesehen günstiger als das klassische RS-FF mit drei Gattern und drei verschiedenen Gatter-Typen, da man nur das kostengünstige NAND-Gatter verwenden kann und nur einen (!) Gattertyp benötigt.
Ein weiterer Vorteil der NAND-Gatter Schaltung ist, dass man auch den negierten Ausgang, Q nicht, zusätzlich zu Q erhält.

Eine mögliche Realisierung mit LogicSim findest du hieroder als Bonsai-Schaltung:

Aus Kostengründen werden in der Realität bei der Chip- oder IC-Herstellung auch die beiden vorderen NAND-Gatter, welche als NICHT-Gatter fungieren, weggelassen. Das Setzen s und Rücksetzen r wird dadurch mit 0 getätigt, standardmäßig sind daher die Eingänge auf 1 (keine Änderung des Ausgangs Q). Damit ändert sich lediglich die Logik des RS-FF, nicht aber die eigentliche Speicherfunktion:

 

Um nicht jedes Mal die komplette Schaltung mit zwei NAND-Gattern zu bauen, erhält das RS-Flip-Flop einen eigenen Modulbaustein mit den beiden Ausgängen Q und Q nicht. Im Folgenden werden wir immer mit diesem Baustein arbeiten:

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